Cho hàm số:

f(x) = ax2 – 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của S và P theo a.

Trả lời:

Ta có:

f(x) = ax2 – 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2) nên phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm thực là:

x = 1,
x
=
a
+
2
a
x=a+2a

Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:


S
=
2
a
+
2
a
,
P
=
a
+
2
a
S=2a+2a,P=a+2a

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
S
=
2
a
+
2
a
=
2
+
2
a
S=2a+2a=2+2a

- Tập xác định : (-∞, 0)∪ (0, +∞)

- Sự biến thiên:
S
′
=
−
2
a
2
<
0
,
∀
a
∈
(
−
∞
,
0
)
∪
(
0
,
+
∞
)
S′=−2a2<0,∀a∈(−∞,0)∪(0,+∞) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-∞, 0) và (0, +∞)

- Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

lim
a
→
+
∞

S
=
lim
a
→
+
∞

(
2
+
2
a
)
=
2
lim
a
→
−
∞

S
=
lim
a
→
−
∞

(
2
+
2
a
)
=
2
lima→+∞⁡S=lima→+∞⁡(2+2a)=2lima→−∞⁡S=lima→−∞⁡(2+2a)=2

Vậy S = 2 là tiệm cận ngang

- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

lim
a
→
0
+

S
=
lim
a
→
0
+

(
2
+
2
a
)
=
+
∞
lim
a
→
0
−

S
=
lim
a
→
0
−

(
2
+
2
a
)
=
−
∞
lima→0+⁡S=lima→0+⁡(2+2a)=+∞lima→0−⁡S=lima→0−⁡(2+2a)=−∞

Vậy a = 0 là tiệm cận đứng.

- Bảng biến thiên:



Đồ thị hàm số:



Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại a = -1

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
P
=
a
+
2
a
=
1
+
2
a
P=a+2a=1+2a



Tập xác định: D = R\{0}


S
′
=
−
2
a
2
<
0
,
∀
a
∈
D
S′=−2a2<0,∀a∈D

lim
a
→
0
−

S
=
−
∞
lima→0−⁡S=−∞⇒ Tiệm cận đứng: a = 0

lim
a
→
±
∞

S
=
1
lima→±∞⁡S=1⇒ Tiệm cận ngang: S = 1



Đồ thị hàm số:



Ngoài ra: đồ thị hàm số
P
=
a
+
2
a
=
1
+
2
a
P=a+2a=1+2a có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị
S
=
2
a
+
2
a
=
2
+
2
a
S=2a+2a=2+2a dọc theo trục tung xuống phía dưới 1 đơn vị.