Đề bài
Cho đường tròn [ltr](O)(O)[/ltr] đường kính [ltr]ABAB[/ltr], dây [ltr]CDCD[/ltr] không cắt đường kính [ltr]ABAB[/ltr]. Gọi [ltr]HH[/ltr] và [ltr]KK[/ltr] theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ [ltr]AA[/ltr] và [ltr]BB[/ltr] đến [ltr]CDCD[/ltr]. Chứng minh rằng [ltr]CH=DKCH=DK[/ltr]
Gợi ý: Kẻ [ltr]OMOM[/ltr] vuông góc với [ltr]CDCD[/ltr].
Lời giải chi tiết
Vẽ [ltr]OM⊥CDOM⊥CD[/ltr]
Theo tính ĐL 2- trang 103, ta có: [ltr]MC=MDMC=MD[/ltr] (1)
Tứ giác [ltr]AHKBAHKB[/ltr] có [ltr]AH⊥HK; BK⊥HK⇒HA//BKAH⊥HK; BK⊥HK⇒HA//BK[/ltr].
Suy ra tứ giác [ltr]AHKBAHKB[/ltr] là hình thang.
Xét hình thang [ltr]AHKBAHKB[/ltr], ta có:
[ltr]OM//AH//BKOM//AH//BK[/ltr] (cùng vuông góc với [ltr]CDCD[/ltr])
mà [ltr]AO=BO=[/ltr]
AB
2
[size][size][ltr]AO=BO=AB2[/ltr][/size][/size][ltr]⇒MO⇒MO[/ltr] là đường trung bình của hình thang [ltr]AHKBAHKB[/ltr].
[ltr]⇒MH=MK⇒MH=MK[/ltr] (2)
Từ (1) và (2) [ltr]⇒MH−MC=MK−MD⇔CH=DK.⇒MH−MC=MK−MD⇔CH=DK.[/ltr]
Nhận xét: Kết quả của bài toán trên không thay đổi nếu ta đổi chỗ hai điểm [ltr]CC[/ltr] và [ltr]DD[/ltr] cho nhau
(nguồn: loigiaihay.com)